количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то
общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом,
через характеристику единицы совокупности она характеризует всю
совокупность в целом.
Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи
заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных
величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней
выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность
однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы
фактов.
Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к
совокупностям с различной численностью единиц.
Важнейшим условием научного использования средних величин в
статистическом анализе общественных явлений является однородность
совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и
технике вычисления средняя в одних условиях (для неоднородной
совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности)
соответствует действительности. Качественная однородность совокупности
определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности
явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы
исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность
пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя
вычислять среднюю для разнородных культур.
Математические приемы, используемые в различных разделах статистики,
непосредственно связаны с вычислением средних величин.
Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством,
т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные
явления характеризуются примерно одинаковыми средними.
Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для
характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего
явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по
изучаемому признаку).
Виды средних величин.
От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней
величины, зависит по какой формуле она будет определятся. Рассмотрим
наиболее часто применяемые в статистике виды средних величин:
- среднюю арифметическую;
- среднюю гармоническую;
- среднюю геометрическую;
- среднюю квадратическую.
Для этого введем следующие понятия и обозначения:
Признак, по которому находится средняя, называемый осередняемым
признаком, обозначим буквой "х"
Значения признака, которые встречаются у группы единиц или отдельных
единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака и
обозначаются через x1, x2, x3 и т.д. Средняя величина этих значений
обозначается через " " .
Средняя арифметическая величина может быть простой и взвешенной.
Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле [pic], т.е.
как сумма вариантов признака, деленная на их число. Средняя арифметическая
простая применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака
встречается в совокупности один или равное число раз.
Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле [pic], где fi
- частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким
образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов
признака, деленная на сумму весов. [pic] Она применяется в тех случаях,
когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.
При расчете средней по интервальному вариационному ряду необходимо
сначала найти середину интервалов. Это и будут значения xi, а количество
единиц совокупности в каждой группе fi (таблица 4.1).
Таблица 4.1.
|Возраст рабочего, лет |Число рабочих, чел (fi) |Середина возрастного |
| | |интервала, лет (xi) |
|20-30 |7 |25 |
|30-40 |13 |35 |
|40-50 |48 |45 |
|50-60 |32 |55 |
|60 и более |6 |65 |
|Итого |106 |Х |
Средний возраст рабочих цеха будет равен [pic]лет.
Средняя гармоническая величина является преобразованной средней
арифметической величиной. Применяется она тогда, когда необходимые веса
(fi) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в
одни из имеющихся показателей. Она также может быть простой и взвешенной.
Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле [pic], т.е. это
обратная величина средней арифметической простой из обратных значений
признака.
Формула средней гармонической взвешенной:
[pic], где Mi=xi*fi (по содержанию).
Например, необходимо определить среднюю урожайность всех технических
культур на основании следующих данных (таблица 4.2):
Таблица 4.2
Валовой сбор и урожайность технических культур по одному из районов во
всех категориях хозяйств.
|Культуры |Валовой сбор, ц (Mi) |Урожайность, ц/га (xi) |
|Хлопчатник |97,2 |30,4 |
|Сахарная свекла |601,2 |467,0 |
|Подсолнечник |46,3 |11,0 |
|Льноволокно |2,6 |2,9 |
|Итого |743,3 |Х |
Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы,
но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на
площадь Mi=xi*fi , поэтому [pic], а средняя урожайность будет равна [pic].
Средняя геометрическая также может быть простой и взвешенной.
Применяется главным образом при нахождении средних коэффициентов роста.
Средняя геометрическая простая находится по формуле
[pic], а средняя геометрическая взвешенная - по формуле [pic]. Сфера
применения этой средней будет рассмотрена в теме "Ряды динамики".
Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится
осереднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратических
функций. Простая средняя квадратическая [pic], взвешенная [pic]. Наиболее
широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.
Структурные средние.
Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так
называемые структурные средние. Наиболее часто используются в экономической
практике мода и медиана.
Мода - это наиболее часто встречающаяся варианта признака в данной
совокупности.
В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей
частоте. Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:
44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;
Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет
модальной.
В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по
формуле
[pic], где
x0 - нижняя граница модального интервала;
d - величина модального интервала;
f2 - частота модального интервала;
f1 - частота интервала, предшествующая модальному;
f3 - частота интервала, следующая за модальным.
Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте
(таблица 4.3)
Таблица 4.3.
Распределение населения РФ по уровню среднедушевого месячного дохода в
I-ом полугодии 1995 года
|Среднедушевой месячный |Удельный вес населения, |Накопленная частота, % |
|доход, руб. |% (f i) |(Si) |
|менее 100 |2,4 |2,4 |
|100-300 |35,5 |37,9 |
|300-500 |30,0 |67,9 |
|500-700 |15,7 |83,6 |
|700-900 |7,7 |91,3 |
|900 и выше |8,7 |100,0 |
|Всего |100,0 |Х |
Интервал 100-300 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет
наибольшую частоту (f=35,5). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет
равна:
[pic] руб.
Мода применяется для решения некоторых практических задач. Так,
например, при изучении товарооборота рынка берется модальная цена, для
изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и
одежды и др.
Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности,
которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке
возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда
называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные
части.
В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности
- это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов
из 27 человек медианным будет рост у 14-го, если они выстроятся по росту.
Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя
арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в
группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.
В интервальных вариационных рядах медиана определяется по формуле:
[pic] , где
x0 - нижняя гранича медианного интервала;
d - величина медианного интервала;
Sme-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;
fMe - частота медианного интервала.
По данным таблицы 4.3. определим медианное значение среднедушевого
дохода. Для этого необходимо определить какой интервал будет медианным.
Используя формулу номера медианной единицы ряда, т.е. середины [pic] (%) .
Затем определяем накопленную частоту.
Дробное значение N (всегда при четном числе членов) равное 50,5%
говорит о том, что середина ряда находится между 50% и 51%, т.е. в третьем
интервале. Отсюда медиана по формуле будет определена
[pic] руб.
соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на
характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его
асимметрию. Если M0<Me<[pic] имеет место правосторонняя асимметрия. Если же
[pic]<Me<M0 - левосторонняя асимметрия ряда. По приведенному примеру можно
сделать заключение, что наиболее распространенным является доход порядка
271 руб. в месяц. В то же время более половины населения располагают
доходом свыше 381 руб., при среднем уровне 435 руб. [pic] руб. Из
соотношения этих показателей следует сделать вывод о правосторонней
асимметрии распределения населения по уровню среднедушевого денежного
дохода.
Тренировочные задания.
1. Выпуск продукции двумя цехами завода за два периода характеризуется
следующими данными:
|№ |Базисный период |Отчетный период |
|цеха | | |
| |Удельный вес |Стоимость |Удельный вес |Стоимость всей |
| |продукции 1 |продукции 1 |продукции 1 |произведенной |
| |сорта, % |сорта, тыс. руб|сорта |продукции, тыс. руб |
|1 |90 |2800 |88 |2700 |
|2 |82 |1700 |85 |2000 |
Определите средний удельный вес продукции 1 сорта по двум цехам вместе
в базисном и отчетном периодах.
2. По нижеприведенной группировке магазинов по размеру товарооборота
определите модальную и медианную величину товарооборота одного
магазина:
|Группы магазинов по размеру |Число магазинов |
|товарооборота, тыс. руб. | |
|До 50 |10 |
|50-100 |13 |
|100-200 |19 |
|200 и более |8 |
|итого |50 |
Тест
1. Возможна ли многовариантность значений среднего показателя,
рассчитанного по одним и тем же данным?
А) да;
Б) нет.
2. Могут ли средняя величина, мода и медиана совпадать?
А) могут;
Б) не могут.
3. Может ли ряд распределения характеризоваться двумя и более модами?
А) нет;
Б) может двумя;
В) может двумя и более.
4. Может ли ряд распределения иметь две и более медианы?
А) нет;
Б) может быть две;
В) может быть две и более.
5. По какой формуле можно рассчитать среднюю арифметическую величину,
если повторяемость каждого варианта признака равная?
А) средней арифметической простой;
Б) средней арифметической взвешенной;
В) по обеим формулам.
6. Какую формулу средней следует использовать для определения процента
выполнения плана по объединению (из двух предприятий), если первое
предприятие выпустило продукции на сумму 800 тыс. рублей и выполнило
план на 95 %, а второе произвело продукции на 900 тыс. рублей и
выполнило план на 102 %?
А) простую среднюю арифметическую;
Б) взвешенную среднюю арифметическую;
В) взвешенную среднюю гармоническую.
7. По результатам экзамена по одному из предметов получено следующее
распределение оценок по баллам:
|Балл оценки |2 (неуд) |3 (удовл.) |4 (хор.) |5 (отл.) |
|знаний | | | | |
|студентов | | | | |
|Число оценок, |6 |75 |99 |120 |
|полученных | | | | |
|студентами | | | | |
Каковы значения модального балла успеваемости и медианы?
А) мода больше медианы;
Б) мода меньше медианы;
В) мода равна медиане.
5.Показатели вариации
Сущность и причины вариации.
Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает
недостаточной для глубокого анализа изучаемого процесса или явления.
Необходимо учитывать и разброс или вариацию значений отдельных единиц,
которая является важной характеристикой изучаемой совокупности. Каждое
индивидуальное значение признака складывается под совместным воздействием
многих факторов. Социально-экономические явления, как правило, обладают
большой вариацией. Причины этой вариации содержатся в сущности явления.
Показатели вариации определяют как группируются значения признака
вокруг средней величины. Они используются для характеристики упорядоченных
статистических совокупностей: группировок, классификаций, рядов
распределения. В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объёмы
спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды и в разных местах.
Абсолютные и относительные показатели вариации
По смыслу определения вариация измеряется степенью колеблемости
вариантов признака от уровня их средней величины, т.е. как разность х-х. На
использовании отклонений от средней построено большинство показателей
применяемых в статистике для измерения вариаций значений признака в
совокупности.
Самым простейшим абсолютным показателем вариации является размах
вариации R=xmax-xmin . Размах вариации выражается в тех же единицах
измерения, что и Х. Он зависит только от двух крайних значений признака и,
поэтому, недостаточно характеризует колеблемость признака.
Среднее линейное отклонение является средней величиной из абсолютных
значений отклонений от средней арифметической величины.
Простое: [pic]. Взвешенное: [pic].
Среднее линейное отклонение имеет единицы измерения как у признака.
Дисперсия (средний квадрат отклонения) – это средняя арифметическая из
квадратов отклонений значений варьирующего признака от средней
арифметической .
[pic] – простая; [pic]– взвешенная.
Дисперсию в отдельных случаях удобнее рассчитывать по другой формуле,
представляющей собой алгебраическое преобразование предыдущих формул:
[pic],где [pic] или [pic]
Наиболее удобным и широко распространенным на практике показателем
является среднее квадратическое отклонение ((). Оно определяется как
квадратный корень из дисперсии.
Абсолютные показатели вариации зависят от единиц измерения признака и
затрудняют сравнение двух или нескольких различных вариационных рядов.
Относительные показатели вариации вычисляются как отношение различных
абсолютных показателей вариации к средней арифметической. Наиболее
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13