медиану, показатели вариации. Рассчитать показатель фондовой
дифференциации.
Теперь можно приступить к построению ряда распределения, для
чего необходимо определить число групп и величину интервала.
Определяем величину интервала с помощью формулы Стерджесса:
i=Xmax-Xmin /1+3,322lgN;
i=1045-512/5=106,6=107млн. руб.
Результаты подсчета числа банков по каждой группе заносим в
таблицу №5.
Таблица №5
|№ п/п |Капитал|Число |Xi |Xi?fi |S |Xi-X ||Xi-X|?|(Xi-X)2|(Xi-X)2?|
| |, млн. |банков| | | | |fi | |fi |
| |руб | | | | | | | | |
|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |
|I |512-619|5 |565,5|2827,5 |5 |-192,5|962,5 |37056,2|185281,2|
| | | | | | | | |5 |5 |
|II |619-726|6 |672,5|4035,0 |11 |-85,5 |513,0 |7310,25|43861,5 |
|III |726-833|6 |779,5|4677,0 |17 |21,5 |129,0 |462,25 |2773,5 |
|IV |833-940|5 |886,5|4432,5 |22 |128,5 |642,5 |16512,2|82561,25|
| | | | | | | | |5 | |
|V |940-104|3 |993,5|2980,5 |25 |235,5 |706,5 |55460,2|166380,7|
| |7 | | | | | | |5 |5 |
|Итого:| |25 | |18952,5| | |2953,5 | |480858,2|
| | | | | | | | | |5 |
Средняя по ряду распределения рассчитывается со средней
арифметической взвешенной, за Xi принимаем середину интервала,
условно считая, что она будет равна средней по интервалу.
X=(Xi?fi /fi ; Х=18952,5/25 = 758,1=758 млн. руб.
Мода (Мо) - это наиболее часто встречающееся значение признака. Для
интервального ряда мода определяется по следующей формуле:
Мо=Хо+i?((fmo-fmo-1)/ (fmo-fmo-1)+ (fmo-fmo+1)),
где Хо- нижняя граница модального интервала,
i - величина модального интервала,
fmo - частота модального интервала,
fmo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,
fmo+1 - частота послемодального интервала.
Модальный интервал определяем по наибольшей частоте. Для данного
ряда это будет интервал 726-833.
Мо=726+((107?(6-6)/(6-6)+(6-5))=726
Мода равна 726 млн. руб.
Медиана (Ме) - значение признака, лежащее в середине
ранжированного (упорядоченного) ряда распределения.
По номеру медианы определяем медианный интервал
Nme=(n+1)/2; Nme=(25+1)/2=13.
По накопленной частоте S определяем, что медиана будет находится
также в интервале 726-833. Значение медианы определяем по формуле:
Me=xo+i?((Nme-Sme-1)/fМe),
где Хо - нижняя граница медианного интервала,
i - величина медианного интервала,
NМe - номер медианы
SМe-1 - Накопленная частота интервала, предшествующего
медианному,
fМe - частота медианного интервала.
Me=726+(107?(13-11)/6)=761,67; Me=762 млн. руб.
Рассчитаем показатели вариации.
Размах вариации ( R ) R=Xmax-Xmin
где Xmax - максимальное значение признака
Xmin - минимальное значение признака
(Находим по первичным данным)
R = 1045-512 = 533 (млн. руб.).
Среднее линейное отклонение (d)
d=(|Xi-X|8fi /(fi; d=2953,5/25=118,14 млн. руб.
Дисперсия ((2)
(2=((Xi-X)2?fi /(fi; (2=480858,3/25=19234,33=19234
(=((2 - среднее квадратическое отклонение; (=138,7 млн. руб.
По рассчитанным показателям достаточно трудно судить о степени
вариации признака в совокупности, т.к. их величина зависит и от
размера значений признака, поэтому более объективной характеристикой
будет коэффициент вариации
V=(?100/X; V=138,7?100/758=18,3%
Коэффициент вариации свидетельствует об однородности
совокупности (т.к. он меньше 33,3%) и надежности средней.
Для характеристики дифференциации банков по величине капитала,
расчитаем коэффициент фондовой дифференциации. (Кф)
Кф=Хmax(10%)/Xmin(10%);
где Xmax - средняя из 10% максимальных значений признака
Xmin - средняя из 10% минимальных значений признака.
10% от 25 будет 2,5 , то есть можно взять значения трех банков,
имеющих самые большие и самые маленькие значения капитала
Xmin:512, 526, 543 Xmin=527 млн. руб.
Xmax:1045, 958, 971 Xmax=991,3 млн. руб.
Кф=991,3/527=1,881
Следовательно, средняя из 10% максимальных значений превышает
среднюю из минимальных значений в 1,881 раза.
Задание №6
Учитывая, что массив данных является пятипроцентной выборочной
совокупностью из общего массива данных (генеральной совокупности),
определить для нее:
а) среднюю величину факторного признака, гарантируя результат с
вероятностью 0,95;
б) долю банков, у которых величина признака больше среднего
значения, гарантируя результат с вероятностью 0,95.
Предполагается, что исходные данные по 25 банкам являются 5%
выборкой из некоторой генеральной совокупности. В этой связи
необходимо решить следующие задачи:
- определение характеристик выборочной совокупности:
средней величины (Х),
дисперсии ((2х)
доли единиц, обладающих значением изучаемого
признака(W)
дисперсии доли [W(1-W)];
- расчет ошибок выборки ((x; (x; (w; (w);
- распространение результатов выборки на генеральную
совокупность путем определения доверительных интервалов, в
которых с определенной вероятностью можно гарантировать
нахождение характеристик генеральной совокупности.
Для определения характеристик выборочной совокупности
воспользуемся результатами предыдущего задания. Так, по ряду
распределения определили, что средняя величина капитала составляет
Х=758млн. руб., а дисперсия равна 19234.
Для расчета ошибок выборки следует воспользоваться формулами для
бесповоротного отбора, так как по условию можно определить численность
генеральной совокупности (N).
Средняя ошибка выборки для средней величины ((x)
(x=((2/n-1?(1-n/N),
где (2 – дисперсия выборочной совокупности;
n – численность единиц выборочной совокупности;
N – численность генеральной совокупности;
Так как n = 25, что составляет 5% от численности генеральной
совокупности, то N=500.
(x=((19234/25-1)?(1-25/500)= (761,349=27,59
Предельная ошибка для средней
(x=t?(x,
t- коэффициент доверия, принимаемый в зависимости от уровня
доверительной вероятности 0,95 и числа степеней свободы (к) k=n-1 для
малой выборки определяется по таблице Стьюдента.
При вероятности Р=0,95 и к=24 значение t=2,0639
(x=2,0639?27,59=56,9
Доверительный интервал
х-(x<x<x+(x; 758-56,9<x<758+56,9
701,1<x<814.9
С вероятностью 0,95 можно гарантировать, что средняя величина
капитала в расчете на один банк по генеральной совокупности будет
находиться в пределах от 701,1млн. руб., до 814,9млн. руб.
Долю банков, у которых капитал превышает среднюю величину (W),
для выборочной совокупности определим по первичным данным (табл. 1)
число таких банков 13, их доля в выборочной совокупности:
W=13/25=0,52
Средняя ошибка доли для бесповоротного отбора:
(x=( (w(1-w)/n-1)?[1-n/N]; (x=( (0,52?(1-0,52)/25-1)?[1-
25/500]
(x=(0,00988=0,09939
Предельная ошибка (w=t?(w. При вероятности 0,95 t=2.
(w=2?0,09939=0,2
Доверительный интервал
w-(w<p<w+(w,
где р - доля единиц по генеральной совокупности
0,52-0,2<p<0,52+0,2
0,32<p<0,72
Следовательно, с вероятностью 0,95 можно гарантировать, что доля
банков, у которых величина капитала больше среднего значения будет
находиться пределах от 32% до 72%
Задание №7, 8, 9.
Установить наличие и характер связи между величиной факторного и
результативного признаков используя:
а) данные групповой таблицы;
б) поле корреляции;
в) график эмпирической линии регрессии.
Определить тесноту корреляционной связи, используя линейный
коэффициент корреляции, дать оценку его существенности.
Рассчитать параметры и найти уравнение парной регрессии. Дать
его экономическую интерпретацию.
Выполнение п. 7,8,9 задания связано с корреляционным анализом.
Корреляционной называют взаимосвязь между факторным и
результативным показателем, которая проявляется только «в общем и
среднем» при массовом наблюдении фактических данных.
Условиями корректного использования корреляционного метода
является однородность совокупности, отсутствие выделяющихся,
«аномальных» наблюдений, достаточно большое число единиц совокупности.
Проверка исходных данных на однородность и аномальность
наблюдений выполнена ранее.
При проведении корреляционного анализа решаются следующие
вопросы:
- содержательный анализ исходных данных и установление факторного и
результативного показателей;
- установление факта наличия связи, определение ее направления и формы;
- измерение степени тесноты связи;
- расчет параметров регрессионной модели и нахождение аналитического
выражения связи (уравнения регрессии);
- оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация.
Содержательный анализ исходных данных выполнен ранее и
установлено, что капитал – факторный признак (Х), прибыль –
результативный (Y).
Установление факта наличия связи осуществляется на основе
групповой таблицы (табл. 5а) и графическим способом путем изображения
поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии (рис. 1).
Анализ таблицы 5а свидетельствует о прямой связи между капиталом
и прибылью банков.
Таблица 5а
|№п/п |Капитал|Число |Середин|Прибыль|
| |, млн. |банков |а |в |
| |руб | |интерва|среднем|
| | | |ла (Xi)|на 1 |
| | | | |банк |
|1 |512-619|5 |565,5 |5,34 |
|2 |619-726|6 |672,5 |6,8 |
|3 |726-833|6 |779,5 |15,7 |
|4 |833-940|5 |886,5 |18,0 |
|5 |940-104|3 |993,5 |20,9 |
| |7 | | | |
Эмпирическую линию регрессии (рис. 1) строим по данным табл. 5а,
принимая за Xi середину интервала, за Yi прибыль в среднем на один
банк по каждой группе.
Поле корреляции, имеющее форму вытянутого эллипса, и направление
эмпирической линии регрессии свидетельствует также о наличие прямой
зависимости между прибылью и капиталом банка.
Предполагая, что зависимость между капиталом и прибылью, имеет
линейную форму, определим тесноту связи на основе линейного
коэффициента корреляции. Для этого воспользуемся расчетами,
выполненными в табл. 4.
r=((Xi-X)(Yi-Y)/n?(x?(y; (x=147млн. руб.; (у=(960,85/25=6,2
r=21221,5/(25?147?6.2)=21221.5/22785=0,93
Значения линейного коэффициента корреляции могут находиться в
интервале
0<|r|<1
Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь.
Значение r = 0,93 свидетельствует о достаточно тесной связи
между величиной капитала и прибыли.
Однако, чтобы это утверждать, необходимо дать оценку
существенности линейного коэффициента корреляции, что можно выполнить
на основе расчета t-критерия Стьюдента.
Tpac=r(n-2/( 1-r2, tpac=(0,93?( 25-2)/( 1-
0,8649=4,46/0,3676=12,1328
tтабл находим по таблице Стьюдента. Для числа степеней свободы
r=n-2=25-2=23 и уровня значимоcти 1% tтабл = 2,8073. 12,1328>2,8073.
Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что в генеральной
совокупности существует достаточно тесная зависимость между величиной
капитала и прибылью банка.
В случае линейной связи параметры уравнения регрессии
Y=a+bx могут быть найдены решением системы нормальных уравнений:
( Y=na+b (X
( XY=a ( x+b ( x
или b=r? ((у/(х), а=у-bx;
тогда b=0,93?6,2/147=5,776/174=0,039; a=12,6-0,039?761=12,6-
29,68=-17,08
y=-17,08+0,039x
Коэффициент регрессии b = 0,039 свидетельствует о том, что при
увеличение капитала на 1 млн. руб. Прибыль возрастет на 0,039 млн.
руб. или на 39 тыс. руб.
По коэффициенту регрессии можно рассчитать коэффициент
эластичности (Эi) и ( - коэффициент
Эx=b?(x/y); (x=b?((х/(у).
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов
увеличится результативный показатель при увеличение факторного
признака на 1%.
( - коэффициент говорит о том, на сколько своих
среднеквадратических отклонений изменится результативный показатель
при изменении факторного признака на одно свое среднеквадратическое
отклонение.
Эх=0,039?761/12,6=2,355 или 2,4
Следовательно, при увеличении капитала на 1%, прибыль увеличится
на 2,4%
(х=0,039?174/6,2=1,09
При увеличении капитала на одно свое среднеквадратическое
отклонение прибыль увеличится на 1,09 своих среднеквадратических
отклонений.
Задание №10.
В п. 10 задания необходимо выполнить анализ динамики прибыли.
Анализ динамики выполняется путем расчета показателей:
1) характеризующих изменение анализируемого показателя по
периодам (абсолютный прирост (А), если темп (коэффициент) роста (Тр),
темп прироста (Тпр), абсолютное значение одного процента прироста),
которые могут быть рассчитаны цепным методом и базисным. Цепные
показатели динамики характеризуют изменение каждого последующего
показателя с предыдущим, а базисные по сравнению с уровнем, принятым
за базу сравнения.
Аi=уi-yi-1; Ai=yi-y0;
где уi – уровень сравниваемого периода;
yi-1 – уровень предыдущего периода;
y0 – уровень базисного периода.
ТPi=(yi/yi-1)?100; Tpiб=(yi/y0)?100
Если темпы роста выразить в виде коэффициентов (Кр), то между
цепными и базисными будет следующая взаимосвязь:
Кб3/0=уi/y0?y2/y1?y3/y2
То есть произведение цепных коэффициентов роста за
последовательные периоды времени равно базисному за весь период
Tnpi=Tp-100; Tбазпр=Тpб-100
Абсолютное значение одного процента рассчитывается отношением
цепного абсолютного прироста. Пункты роста (Пр) представляют собой
разность базисных темпов роста, выраженных в процентах.
Пpi=Tбpi- Tбpi-1
2) Средних показателей динамики:
Средний уровень ряда для периодических рядов с уровнями,
выраженными абсолютными величинами.
Y=( уi/n
Средний абсолютный прирост (()
( = ( (i/n-1
где n – число уровней ряда.
Средний коэффициент роста (Кр)
Кр=n-1( К1?К2.....?Кn-1=( YN/Y0
Tp=Kp?100;
Средний темп прироста Тпр=Тр-100.
По данным о прибыли банка №1 за период IV квартала предыдущего
года по IV квартал отчетного года рассчитаем приведенные выше
показатели динамики.
Таблица №6
|Период |Прибыл|Абсолютный |Темп роста, %|Темп |Абсолютн|Пункты|
|времени |ь млн.|прирост, млн.| |прироста, % |ое |роста |
| |руб. |руб. | | |значение| |
| | | | | |1% | |
| | | | | |прироста| |
| | |цепной|базис|цепно|базисн|цепно|базисн| | |
| | | |ный |й |ый |й |ый | | |
|IV кв-ал|19,3 |- |- |- |- |- |- |- |- |
|предыдущ| | | | | | | | | |
|его года| | | | | | | | | |
|I |21,3 |2 |2 |110,4|110,4 |10,4 |10,4 |0,19 |- |
|квартал | | | | | | | | | |
|II |18,4 |-2,9 |-0,9 |86,4 |95,3 |-13,6|-4,7 |0,21 |-15,0 |
|квартал | | | | | | | | | |
|III |20,1 |1,7 |0,8 |109,2|104,1 |9,2 |4,1 |0,18 |8,8 |
|квартал | | | | | | | | | |
|IV |22,6 |2,5 |3,3 |112,4|117,1 |12,4 |17,1 |0,20 |13,0 |
|квартал | | | | | | | | | |
Средний уровень ряда, в данном случае есть смысл рассчитать по
показателям прибыли за отчетный год:
Y=21,3+27,4+26,5+28,1/4=25,85 (млн. руб.)
Средняя квартальная величина прибыли за отчетный год составила
25,85 млн. руб.
Средний темп роста:
Кр=4( 1,104?0,864?1,092?1,124=4( 1,71=1,040; Тр=104%
Средний квартальный темп роста прибыли составил 104%, а темп
прироста 4%.
Показатели динамики свидетельствуют о ежеквартальном росте
прибыли кроме II квартала отчетного года, когда было допущено снижение
на 2,9 млн. руб., что составило 13,6%. В целом за отчетный год прибыль
возросла на 3,3 млн. руб., (17,1%)
Задание №11.
Найти прогнозное значение прибыли на первый квартал следующего
года, используя метод аналитического выравнивания.
В №11 задания необходимо найти прогнозное значение прибыли на
следующий период, то есть 1 квартал следующего года.
Для этого используют метод аналитического выравнивания по
прямой.
Y( =a+bt, где t – порядковый номер периодов времени.
Параметры уравнения тренда “a” и “b” находят решением системы
нормальных уравнений прямой:
( y=na+b ( t
( ty=a ( t+b ( t2
Нахождение параметров значительно упрощается при использовании
метода отсчета от условного нуля, тогда ( t=0, а система уравнения
примет вид:
( y=na
( ty=b ( t2
откуда a=( y/n; b=( ty/ ( t2
Расчет параметров уравнения тренда выполнен по данным таблицы №7
Таблица №7.
|Период |Прибыль|Условно|t?y |t2 |Теоретическ|уi-y( |(yi-y()|
|времени |млн.руб|е | | |ие | |2 |
| |. у |обознач| | |(расчетные)| | |
| | |ение | | |значения | | |
| | |периодо| | |прибыли, | | |
| | |в, t | | |млн. руб. | | |
|IV кв. |19,3 |-2 |-38,6 |4 |19,26 |0,04 |0,0016 |
|Предыдуще| | | | | | | |
|го года | | | | | | | |
|I кв. |21,3 |-1 |-21,3 |1 |19,8 |1,5 |2,25 |
|II кв. |18,4 |0 |0 |0 |20,34 |-1,94 |3,7636 |
|III кв. |20,1 |1 |20,1 |1 |20,88 |-0,78 |0,6084 |
|IV кв. |22,6 |2 |45,2 |4 |21,42 |1,18 |1,3924 |
|Итого: |101,7 | |5,4 |10 |101,7 | |8,016 |
а=101,7/5=20,34 b=5,4/10=0,54
Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого периода
теоретическое значение для IV квартала предыдущего года:
y(iv=20,34+0,54(-2)=19,26
для I квартала отчетного года
y(i=20,34+0,54(-1)=19,8 и так далее.
Сумма расчетных значений равна сумме фактических значений
прибыли, что подтверждает правильность ответов.
Для нахождения прогнозного значения прибыли на I квартал
следующего года необходимо в уравнении тренда подставить
соответствующее значение t=3.
y(пр =20,34+0,54(3)=21,96 млн. руб.
Это так называемый точечный прогноз. Однако, фактическое
значение всегда будет отличаться от этой величины, поэтому находят
доверительные интервалы прогноза:
y(пр ( t(S/( n,
где S – среднее квадратическое отклонение от тренда;
t( - табличное значение t – критерия Стьюдента при
уровне значимости (;
S=(( (уi- y()2/n-m
Где Yi , Y – соответственно фактические и расчетные значения
уровней динамического ряда;
n – число уровней ряда;
m – число параметров в уравнении тренда (для прямой m=2);
S=( 8,016/5-2=( 2,672=1,6
Относительная ошибка уравнения
S/y?100=1,6/20,34?100=7,86
t( при уровне значимости 5%, (что соответствует вероятности
0,95) и числе степеней свободы n – m=3 равно 3,183 (по табл.
Стьюдента)
t(?S/( n=3,183?(1,6/( 5)=2,278
21,96-2,278< y(прогн<21,96+2,278
19,682< y(прогн<24,238
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что прибыль банка №1 в I
квартале следующего года будет находиться в пределах от 19,682 млн.
руб. до 24,238 млн. руб.
Список использованной литературы:
1. Ефимова М.Р., Петрова Е.В. Румянцев В.Н. Общая теория статистики:
Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1988.
2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. Учебник/под ред.
чл. корр. РАН Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 1995.
3. Статистика . Учеб. пособие/ Под ред. А.В. Череховича. – М.: Наука 1997
4. Статистическое моделирование и прогнозирование. Учеб. пособие/ Под
ред. А.Г. Гранберга. – М.: Финансы и статистика, 1990.
Министерство общего и профессионального образования РФ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ
Институт заочного обучения
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ПРЕДМЕТУ
Статистика
Факультет Финансовый менеджмент
Проверил ___________________
Оценка ___ОТЛ______________
Москва 1999 г.
-----------------------
[pic]
Страницы: 1, 2
