Задача обработки решеток
Содержание
|Введение |3 |
|1.1 Задача обработки решетки |5 |
|1.2 Продолжаемость |9 |
|1.2.1 Спектральные основы и совместные множества |9 |
|1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное |10 |
|представление | |
|1.2.3 Характеристики продолжаемости |11 |
|1.3 Граница и внутренняя часть |15 |
|1.3.1 Функции спектральной плотности мощности |15 |
|1.3.2 Дискретизация спектральной основы |16 |
|1.4 Метод Писаренко |18 |
|1.4.1 Метод Писаренко для решеток датчиков |18 |
|1.4.2 Вычисление оценки Писаренко |22 |
|Резюме |25 |
|2.1. Интегральное уравнение для открытого резонатора с |26 |
|осесимметричным диском | |
|2.2 Интегральное уравнение открытого резонатора с |32 |
|диэлектрическим диском, несоосным с зеркалами [72] | |
|Заключение, перспективы |39 |
|3 Метод СВЧ контроля параметров полимеров |40 |
|Литература |45 |
|ПриложениЯ |47 |
|Приложение А |48 |
|Приложение В |50 |
|Приложение С |52 |
|Иллюстрации |54 |
Рассматривается вкратце задача обработки решеток и формулируется задача абстрактной спектральной оценки. Эта задача включает оценку многомерного спектра мощности частотно-волнового вектора по измерениям корреляционной функции и знанию спектральной основы.
Исследование согласующихся по корреляции спектральных оценок приводит к вопросу продолжаемости : существует ли любой положительный спектр на спектральной основе, который в точности согласует данное множество корреляционных выборок? Для ответа на этот вопрос разработана математическая структура, в рамках которой следует анализировать и разрабатывать алгоритмы спектральной оценки.
Метод спектральной оценки Писаренко, который моделирует спектр в виде
импульсов плюс шумовая компонента, распространяется со случая временной
последовательности на более общий случай обработки решеток. Оценку
Писаренко получают как решение линейной задачи оптимизации, которая может
быть решено при использовании линейного алгоритма программирования, к
примеру, симплекс - метода.
Введение
Подобно тому, как спектр мощности стационарной временной последовательности описывает распределение мощности в зависимости от частоты, спектр мощности частотно-волнового вектора однородного и стационарного волнового поля описывает распределение мощности в зависимости от волнового вектора и временной частоты или, что эквивалентно, в зависимости от направления распространения и временной частоты. Спектр частота - волновой вектор или информация, которая может быть получена из него, является важной во многих применениях. В радиоастрономии и гидролокации могут быть основаны на информации, содержащейся в оценке спектра мощности. Следовательно, оценка спектра мощности по данным решетки датчиков представляет больной практический интерес.
Раздел II содержит краткий обзор волновых нолей и решеток датчиков, а
также введение в задачу спектральной оценки. Рассматриваются альтернативные
математические представления спектров мощности, как мер и как функций
спектральной плотности. В разделе II вводится термин корешетки, множества
разделений вектора и временных запаздываний, для которых доступны
корреляционные выборки, и спектральной основы, области частоты-пространства
волнового, вектора, содержащей мощность. к которой чувствительны датчики.
Никакой особой структуры не предполагается как и для корешетки. Так и для
спектральной основы. Раздел II завершается Формулировкой абстрактной
задачи: оценкой спектра мощности при условии того, что он положителен на
спектральной основе и равен нулю вне ее, а также обладает некоторыми
известными корреляциями для разделений в корешетке. Хотя и проще многих
задач, встречаемых на практике, ключевые характеристики, которые отличают
задачу решетки, от задачи спектральной оценки мощности временной
последовательности, сохраняются : многомерность частотной переменной и
неравномерность корешетки.
При условии этой формулировки проблемы естественно рассматривать спектральные оценки, которые согласуются с известной информацией: спектральные оценки, положительные на спектральной основе и равные нулю вне её, в точности согласующиеся с измеренными корреляциями, .исследование таких, согласованных с корреляцией, спектральных оценок ставит два главных вопроса. Первый и более фундаментальный вопрос касается существования любой такой оценки. Эта проблема, продолжаемости имеет глубокие исторические корни [1] и недавно была поднята Дикинсоном [2] относительно двумерной спектральной оценки по методу максимальной энтропии, а также является темой некоторых недавних работ Цибенко[3 - 4]. Проблема продолжаемости исследуется в разделе III. Характеризуются продолжаемые множества корреляционных измерений. Рассматривается также их зависимость от спектральной основы и эффект дискретизации спектральной основы. В попытке ответить на вопрос о продолжаемости разработана необходимая математическая структура, позволяющая анализировать специальные методы спектральной оценки и разрабатывать алгоритмы для их вычисления.
Вторым поднятым вопросом является вопрос единственности:
имеется ли единственная согласованная с. корреляцией спектральная оценка и,
если нет, как выбрать нужную ? Действительно, единственная оценка не
существует, за исключением весьма специальных случаев; задача метода
спектральной оценки состоит в выборе одного из ансамбля спектров,
удовлетворяющего согласованию корреляции, положительности и ограничениям
спектральной основы. Раздел IУ касается метода Писаренко [5] , который
включает моделирование корреляционных измерений в виде суммы двух
компонентов. Один, шумовой компонент известной спектральной формы, но
неизвестной амилитуды, делается настолько большим, насколько это возможно
без превращения второго компонента в непродолжаемый. Показано, что
спектральная оценка по методу Писаренко решает линейную задачу оптимизации.
Решение этой задачи оптимизации будет всегда существовать, если
корреляционные измерения являются продолжаемыми. Показало, что тактически
метод Писаренко тесно связан с вопросом продолжаемости и алгоритм
вычисления оценки Писаренко будет также служить в качестве теста
продолжаемости. Показано, что оценка Писаренко не является всегда
единственной в общем случае, хотя она единственна для случая временной
последовательности, где задача линейной оптимизации сводится к задаче на
собственные значения.
1.1. Задача обработки решетки
Вообразим многомерную однородную среду, поддерживающую волновое поле с комплексными значениями u(x, t) и содержащую решетку датчиков. Волновое паче будет предполагаться однородным и стационарным, так что его статистики второго порядка описываются корреляционной санкцией r , или эквивалентно, спектром мощности [pic][6].
[pic] (2.1)
Представление спектра мощности, посредством положительной меры [pic] обеспечивает необходимую гибкость для того, чтобы иметь дело с диапазоном спектральных оснований унифицированным образом и обрабатывать спектры, которые содержат импульсы: конечная мощность при единственном волновом векторе.
В инженерной литературе более принято представлять спектр мощности посредством положительной функции спектральной плотности [pic]. В этом представлении
[pic] (2.2)
где [pic] - некоторая фиксированная мера, которая позволяет интерпретировать выражение /2.2/ в виде многомерной поверхности или объемного интеграла, возможно взвешенного, над частотно-волновым векторным пространством.
Если дана 'функция спектральной плотности мощности [pic], то возможно определить соответствующую положительную меру путем требования, чтобы мера подмножества В частотно-волнового векторного пространства равнялась интегралу функции спектральной плотности по В:
[pic] (2.3)
Теперь будет сформулирована простая задача спектральной оценки.
Особое внимание будет уделено моделированию свойств процесса сбора данных,
которые являются общими для многих задач обработки решеток. Эти свойства
включают измерение корреляционной функции при конечном числе неравномерно
распределенных точек и ограничения на область пространства частоты-воктора
волны, в котором может присутствовать мощность.
Каждый из ПИП производит временную функцию, которая является волновым
полем U, подвергнутым выборке в точке пространства. Совокупность временных
функций, образуемых всеми ПИП, выход или отклик решетки, должна быть
обработана с тем, чтобы обеспечить оценку спектра мощности частоты-
волнового вектора. Стохастический характер волнового поля неизменно
приводит к случайным 'изменениям любой спектральной оценки, основанной на
выходе решетки. Чтобы противодействовать этому эффекту, спектральные оценки
часто базируются на устойчивых статистиках, получаемых с выхода решетки.
Обычным примером такой статистики является корреляционная оценка,
вычисляемая посредством умножения выхода одного ПИП на задержанный во
времени выход второго ПИП с усреднением по времени. Эта обработка дает в
результате оценку корреляционной функции с временной задержкой,
соответствующей запаздыванию во времени и пространственным разделением,
которое является вектором расстояния между ПИП. Процесс усреднения
обеспечивает статистически стабильные оценки корреляции, что дает в
результате статистическую стабильность спектральной оценки, основанной на
этих корреляционных оценках. Важно отметить, что оценки корреляций доступны
только для конечного множества междатчиковых расстояний и временных
задержек [8]. Тема ошибок корреляционных оценок не будет затрагиваться.
Эта. статья касается скорее свойств множеств истинных корреляционных
выборок и спектральных оценок, основанных на корреляционных выборка.
Предполагается известным, что спектр заключен в ограниченной области
пространства частота-волновой вектор, спектральной основе. Снаружи этой
основы предполагается, что спектр равен нулю. Ограниченная спектральная
основа может естественно возникнуть несколькими путями. Например, в среде,
которая поддерживает скалярные волны, известный источник, среда и
характеристики датчика могут быть использованы для построения
соответствующей спектральной основы. Источник может иметь известную
временную ширину полосы или известную конечную угловую протяженность.
Соотношение дисперсии и затухание в среде ограничивает область пространства
частота-волновой вектор, в которой может присутствовать мощность. ПИП могут
иметь конечную временную полосу могут быть направленными. Все эти эффекты
могут моделироваться посредством предположения о том, что мощность
отсутствует снаружи определенной области пространства частота-волновой
вектор. Известная спектральная основа, базирующаяся на физике частной
задачи, представляет собой важную априорную информацию, которая может быть
использовала в .задаче спектральной оценки.
Во многих применениях значительно больше данных доступно во временном
измерении, чем в пространственном измерении. В этих случаях удобно отделить
временную переменную посредством анализа Фурье временной последовательности
выхода каждого датчика, а затем произвести раздельную спектральную опенку
волнового вектора для каждой временной частоты путем использования
коэффициентов Фурье в качестве данных для спектрального оценивателя
волнового вектора. Таким образом задача оценки стимулируется для
комплексных данных, даже хотя физические волновые поля имеют
вещественные значения. К счастью, обычный анализ Фурье является часто
удовлетворительным, когда данные избыточны, а также неявным при
узкополосном характере многих датчиков. Там, где ограниченные данные во
временное измерении делают упомянутый выше подход не практичным, а
доступными являются широкополосные решетки датчиков, полная задача может
трактоваться посредством включения временных переменных [pic] и [pic] в
векторы [pic] и k. Тогда [pic] будет описывать разделение как в
пространстве, так и во времени, a k волновой вектор пространства-времени.
Будем полагать, что принят один из этих двух подходов; следовательно
временные переменные [pic] и [pic] будут опущены.
Простым примером модели спектральной оценки, разработанной выше, является решетка ПИП, состоящая из одинаковым образом ориентированных ИП.
Пример 2.1: решетка из трех ИП. Представим, что решетка ИП,
показанная на рис.1, используется для приема единственной временной частоты
[pic], соответствующей длине волны [pic].
ИП с диаметром d имеет полосу пропускания, которая грубо описывается выражением
[pic].
Полагая, что волновое поле удовлетворяет соотношению дисперсии для однородной, недиспергирующей среды, основанием для спектральной оценки должна быть полярная шапка, описываемая двумя уравнениями
[pic]
[pic]
и показанная на рис.2
Совместным множеством для этой задачи является только множество всех
3-мерных пространственных разделений между ИП в решетке.
1.2 Продолжаемость
В последнем разделе была построена простая модель задачи обработки решетки: если даны некоторые корреляционные измерения и спектральная основа, получить спектральную оценку. Естественно использование известной информации о спектре для ограничения спектральной оценки требованием того, чтобы она была согласована с измеренными корреляциями, положительной и ограниченной спектральной основой. Такие, спектральные оценки называются спектральными оценками согласованными с корреляцией.
Исследование спектральных оценок, согласованных с корреляцией подымает фундаментальный вопрос о существовании. Если задана, конечная совокупность измеренных корреляций и спектральная основа, то существует ли по крайней мере одна согласованная с корреляцией спектральная оценка ? Если такая спектральная оценка существует, то о измеренных корреляциях говорят, что они продолжаемы. /Корреляционная функция, полученная посредством обратного преобразования Фурье согласованной с корреляцией спектральной оценки, является подходящим продолжением корреляционных измерений на все пространственные разделения/. После некоторых необходимых математических определений мы получим ответ на вопрос о существовании путем характеризации множества продолжаемых корреляционных измерений.
1.2.1 Спектральные основы и совместные множества
Вначале необходимо определить более тщательно термины спектральная
основа и совместное множество. Предполагается, что спектральная основа К
является компактным подмножеством [pic], т.е. К замкнуто и ограничено.
Предположение относительно компактности К приводит к некоторым техническим
преимуществам: непрерывная функция на компактном множестве достигает своей
нижней и верхней грани. Кроме того, компактность должна всегда содержаться
в физической задаче. Как обсуждалось в предыдущем разделе, знание
источника, среды и характеристик датчиков может быть использовано для
построения соответствующей спектральной основы.
Совместное множество [pic] будет определяться, как конечное подмножество [pic] со свойствами
I / 0[pic];
II / если [pic]
III / [pic] является множеством линейно независимых функций на
.
Условие I/ подразумевает знание r(0) полной мощности в спектре.
Условие II/ отражает тот факт, что корреляционная функция всегда сопряжено
симметрична; так, если [pic] известна, то известна и [pic]. Условия I/ и
II/ совместно подразумевают, что [pic] имеет вид
[pic] (3.1)
Условие II/ гарантирует, что корреляционные измерения независимы; каждое измерение дает новую информацию о спектре.
Если D > 1 , то задача спектральной оценки является многомерной. Если
[pic] и [pic] то задача спектральной оценки является известным случаем
временной последовательности и вопрос продолжаемости сводится к известной
задаче тригонометрических моментов [9].
1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное представление
Спектральная основа и совместное множество естественно предполагает
ситуацию векторного пространства для задачи спектральной оценки, в которой
сопряженно-симметричные комплекснозначные функции на [pic] будут играть
центральную роль. Сопряженно-симметричная функция f на [pic] является
функцией, для которой [pic] при всех [pic]. Корреляционные выборки, из
которых должны образовываться спектральные оценки, являются такими
функциями. /Благодаря этой симметрии многие из нижеследующих выражений
являются вещественными, хотя они, ради простоты, были записаны в виде,
который предполагает, что они могут быть комплексно-значными/. Совместное
множество [pic] имеет 2М + I элемент и таким образом сопряженно-
симметричная функция на [pic] характеризуется посредством 2М + I
независимыми вещественными числами. Так, сопряженно-симметричная функция на
[pic] может рассматриваться как вектор в [pic]. /Векторное пространство над
вещественными числами выбирается потому, что только умножение на
вещественное число, переводит корреляционную функцию в другую
корреляционную функцию/. Будут использоваться как функциональное
обозначение [pic] так и векторное f.
Поскольку [pic] является линейно-независимым множеством функций на K, то отсюда следует, что каждый вектор p в [pic] может быть единственным образом связан с вещественно-значным [pic]-полиномом P(k) на К посредством соотношения
[pic] (3.2)
Вектор будет называться положительным, если [pic] на К. Р будет обозначать множество этих векторов, связанных с положительными [pic]- полиномами. Из компактности К, как можно показать, следует, что Р является выпуклым конусом с вершиной в начале координат. /Множество С является конусом с вершиной в начале координат, если [pic] подразумевает [pic] для всех [pic] [10]. Конусы являются важными видами множеств в задаче спектральной оценки, поскольку только умножение на положительные вещественные числа переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию, а [pic]-полином в другой [pic]-полином./
Внутреннее произведение вектора r корреляционных выборок и вектора р полиномиальных коэффциентов будет определяться как
[pic] (3.3)
Это внутреннее произведение дает возможность по новому записать [pic]-
полином: [pic], где [pic] обозначает вектор с компонентами [pic]. Отметим
также, что если [pic], то [pic], что cooтветствует выражению соотношению
Парсеваля.
1.2.3 Характеристики продолжаемости
Пусть Е обозначает множество продолжаемых векторов корреляции. То есть [pic], если
[pic] (3.4)
для некоторой положительной меры [pic] на К. Из свойств интеграла следует,
что, Е является замкнутым выпуклым конусом с вершиной в начале координат.
Кроме того, сечение по Е при [pic]:
[pic] (3.5) является выпуклой оболочкой компактного множества
[pic] (3.6)
является выпуклой оболочкой компактного множества
Итак, Е - замкнутый выпуклый конус с вершиной в начале координат,
генерируемой посредством А. Эта характеристика продолжаемой корреляция
аналогична той, которую дал первоначально Каратеодори в 1907 году для
задачи тригонометрических моментов [I]. Важность этого состоит в том, что
множество продолжаемых векторов корреляции описывается в терминах простого
множества А. Это дает также ясную геометрическую картину продолжаемости и
будет полезно в доказательствах.
Вторая характеристика продолжаемости, которая является более полезной при разработке методов спектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается в виде пересечения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта характеристика включает дуальность, так как полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами дуального пространства. Замкнутое полупространство определяется посредством вектора q, и вещественного числа с в виде множества
