x3=5 x3=4
Z=5993 Z=5991
| Вершина | Ограничение | № |
| | |ограничения |
| 2 | | |
| |x1[pic]6 |7 |
| 3 | | |
| |x1[pic]7 |7 |
| 4 | | |
| |x1[pic] 6 |7 |
| |x2[pic]1 |8 |
| 5 | x1[pic]6 | |
| |x2[pic]2 |7 |
| | |8 |
Вывод:
В результате решения я получил, что целочисленное оптимальное решение
получается в вершине 4, так как все значения x1=6, x2=1,x3=5 в этой вершине
целочисленные и Z5(5991)<Z4(5993), следовательно получено оптимальное
решение. Висящая вершина 5 и прозондированные 1,2,3,4.
Плановые задания:
[pic], где P – плановое задание тыс. тонн, q – производительность состава,
x – количество составов, i – номер предприятия.
Для предприятия 1:
[pic]тыс. тонн;
Для предприятия 2:
[pic]тыс. тонн;
Для предприятия 3:
[pic]тыс. тонн.
Нелинейное программирование.
Задача математического программирования называется нелинейной, если
нелинейны ограничения или целевая функция.
Задачи нелинейного программирования бывают выпуклого и невыпуклого
программирования, с ограничениями и без ограничений, с квадратичными или
сепарабельными целевыми функциями. Задачи нелинейного программирования
имеют множество экстремальных точек, и сложность решения заключается в
выделении глобального оптимума, а не локального как это делается в
большинстве классических методов.
Разделяют задачи безусловной и условной оптимизации. Задачами безусловной
оптимизации называются задачи оптимизации функции многих переменных без
дополнительных ограничений. Существуют следующие методы безусловной
оптимизации: покоординатного спуска, градиентные, сопряженных направлений,
метод Ньютона. Задачами условной оптимизации называются задачи о
оптимизации целевой функции многих переменных f(x1, …, xn) при условии, что
эти переменные удовлетворяют следующим ограничениям:
qi(x1, …, xn) = 0, [pic]
или
dj(x1, …, xn) [pic]0, [pic]
Решение задачи основывается на линейной или квадратичной аппроксимации
целевой функции для определения приращений x1, …,xn на каждой итерации.
Существуют также приближенные методы решения нелинейных задач. Это методы
основанные на методе кусочно-линейной аппроксимации. Точность нахождения
решений зависит от количества интервалов, на которых мы находим решение
линейной задачи, максимально приближенной к нелинейной. Такой метод
позволяет производить расчеты с помощью симплекс-метода. Обычно в линейных
моделях коэффициенты целевой функции постоянны и не зависят от значения
переменных. Однако существует ряд задач, где затраты зависят от объема
нелинейно. Такие задачи решаются следующим способом: решают задачу ЛП с
коэффициентами целевой функции при максимальных значениях переменных. Если
в решении мы получили переменные, для которых брались коэффициенты, значит
задача решена. В противном случае мы изменяем коэффициенты при целевой
функции на коэффициенты при вновь полученных значениях переменных и решаем
полученную задачу ЛП. Так мы повторяем до тех пор, пока не будет получено
на двух последующих шагах одно и то же решение.
Решение задачи нелинейного программирования.
Метод кусочно – линейной аппроксимации.
В нашей задаче есть такая величина, как коэффициент увеличения затрат при
нагрузке, который не использовался нами при решении задачи методами ЛП и
ЦЛП. Собственно этот коэффициент и введен для превращения задачи в
нелинейную путем нелинейной зависимости между увеличением затрат и
загрузкой предприятий.
Составим таблицу:
|№ |Коэффи-|Количе-|Коэфф. |Затраты| Доход|Прибыль|Прибыль|
|пред| |ство | |на 1т | | |на 1 |
|прия|Циент |составо|измене-|у.е. | |На 1т |состав |
|тия |затрат |в |ния | | |у.е. | |
| |% | |затрат | | | |у.е. |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|( | | | 1| 6| 11,64 | | |
| |100 |6,17 | | | |5,64 |676,8 |
| | 70 – |4.31–6,| | | | | |
| |100 |16 |1,4 |8,4 | |3,24 |388,8 |
| | 50 –|3,08–4,| | | | | |
| |70 |31 |1,6 |9,6 | |2,04 |244,8 |
| | 30 –|1,85–3,| | | | | |
| |50 |08 |1,7 |10,2 | |1,44 |172,8 |
| | до | до | | | | | |
| |30 |1,85 |1,8 |10,8 | |0,84 |100,8 |
|( | | | 1| 7| 11,175| | |
| |100 |6,18 | | | |4,175 |459,25 |
| | 70 – |4,33-6,| | | | | |
| |100 |18 |1,2 |8,4 | |2,775 |305,25 |
| | 50 –|3,09-4,| | | | | |
| |70 |33 |1,4 |9,8 | |1,375 |151,25 |
| | 30 –|1,85-3,| | | | | |
| |50 |09 |1,5 |10,5 | |0,675 |74,25 |
| | до | до | | | | - | - |
| |30 |1,85 |1,7 |11,9 | |0,725 |79,75 |
|( | | | 1| 8| 10,78 | | |
| |100 |5,66 | | | |2,78 |294,66 |
| | 70 – |3,96-5,| | | | | |
| |100 |66 |1,3 |10,4 | |0,38 |40,28 |
| | 50 –|2,83-3,| | | | - | - |
| |70 |96 |1,6 |12,8 | |2,02 |214,12 |
| | 30 –|1,7 – | | | | - | - |
| |50 |2,83 |1,7 |13,6 | |2,82 |298,92 |
| | до | до 1,7| | | | - | - |
| |30 | |1,9 |15,2 | |4,42 |458,52 |
Где доход (Д) рассчитывается по формуле:
[pic], где
Ц – цена готовой продукции, Е – извлечение, ( - содержание полезного
компонента.
[pic]
Прибыль (П) рассчитывается по формуле:
П = Д – З , где Д – доход, З – затраты.
Затраты (З) рассчитываются по формуле:
[pic], где С – затраты на добычу, транспортировку и переработку, [pic]-
коэффициент изменения затрат.
1. Пусть x1, x2, x3 принимают свои максимальные значения, тогда
Z1 = 676,8x1 + 459,25x2 + 294,66x3[pic]MAX
Ограничения:
x1 + x2 + x3 =12 – по количеству составов;
x1[pic] 6,17 - максимальный объем добычи руды с
предприятия 1;
x2[pic] 6,18 - максимальный объем добычи руды с
предприятия 2;
x3[pic] 5,66 - максимальный объем добычи руды с
предприятия 3;
0,96x1 + 0,11x2 – 0,95x3[pic]0 – по максимально
допустимому содержанию полезного компонента в руде;
-0,84x1 + 1,06x3[pic]0 – по минимально допустимому
содержанию
полезного компонента в руде.
Решение 1.
x1 = 6,17 x2 = 0,95 x3=4,88 Z1 = 6048,24
2. Так как x1=6,17 – максимально возможный, то коэффициент при x1 в
целевой функции Z2 будет равен 676, 8.
Так как x2=0,95; x2 < 1,87, то коэффициент при x2 в целевой функции Z2
будет равнятся -79,75.
Так как x3=4,88; 3,96 < 4,88 <5,66, следовательно x3 попадает в интервал
3,96 – 5,66, следовательно коэффициент при x3 в целевой функции Z2 будет
равен 40,28.
Следовательно Z2 = 676,8x1 – 79,75x2 + 40,28x3
Решение 2.
x1 = 6,17 x2 = 0,17 x3 = 5,66 Z2 = 4387,26
3. Так как x1=6,17 – максимально возможный, то коэффициент при x1 в
целевой функции Z3 будет равен 676, 8.
Так как x2=0,17; x2 < 1,87, то коэффициент при x2 в целевой функции Z3
будет равнятся -79,75.
Так как x3=5,66 – максимально возможный, то коэффициент при x3 в
целевой функции Z3 будет равен 294,68.
Следовательно Z3 = 676,8x1 – 79,75x2 + 294,68x3
Решение 3.
x1 = 6,166 x2 = 0,17 x3 = 5,66 Z3 = 5827,16
Вывод:
Так как на третьем шаге мы получили значения переменных равных значениям
переменных на втором шаге, то мы получили искомое решение задачи
нелинейного программирования. Третий шаг, за счет того, что значения
коэффициента при x3 были увеличены с 40,28 до 294,68, улучшил целевую
функцию Z3 на 5827,16 – 4387,26 = 1439,9 у.е.
Плановые задания предприятиям.
[pic], где P – плановое задание тыс. тонн, q – производительность состава,
x – количество составов, i – номер предприятия.
Для предприятия 1:
[pic]тыс. тонн;
Для предприятия 2:
[pic]тыс. тонн;
Для предприятия 3:
[pic]тыс. тонн.
Аппроксимация кривой зависимости затрат от количества составов. Примеры
графиков для предприятий 1 и 2.
Динамическое программирование. (ДП)
Динамическими называются задачи экономики, организации и управления, в
которых необходимо распределять ресурсы на каждом этапе какого – либо
промежутка (времени). Формулировка задачи ДП:
Имеется некая система S, находящаяся в первоначальном состоянии S. Данная
система имеет какие – либо параметры. При переходе системы из одной точки в
другую необходимо в каждый момент времени выбирать направление дальнейшего
движения из нескольких допустимых направлений при условии, что каждому
направлению соответствует своя эффективность (параметры системы изменяются
по разному), и необходимо таким образом спланировать маршрут из начальной
точки в конечную, чтобы критерий эффективности достигал экстремального
значения.
Иными словами из множества допустимых управлений U=(U1, U2, …, Un)
необходимо найти оптимальное, при котором система переходит из своего
начального состояния в конечное таким образом, что критерий оптимальности W
достигает своего максимума.
Динамическое программирование представляет собой метод оптимизации
многошаговых процессов по шагам. Локальный оптимум на каждом шаге должен
рассчитываться не как оптимальный на данном этапе, а как дающий
максимальное значение критерия оптимальности в конце движения. Несоблюдение
этого правила приводит к серьезным ошибкам, поэтому при решении задач ДП
двигаются обычно из конца пути в начало, рассчитывая затраты при движении в
каждом направлении, а затем из начала в конец, находя локальный оптимум из
рассчитанных затрат на каждом шаге. Таким образом получаем максимальное
значение критерия оптимальности.
В основе расчетов методом динамического программирования лежит принцип
Беллмана. Он звучит:
оптимальное управление обладает тем свойством, что какавы бы ни были
достигнутые состояния и решения до данного момента, последующее решение
должно составлять оптимальное поведение относительно состояния,
достигнутого на данный момент.
Решение задачи динамического программирования.
Распределение ресурсов предприятиям.
Данные возьмем из задачи нелинейного программирования: количество составов
и прибыль на 1 состав для каждого предприятия:
Предприятие 1.
|Количество |Прибыль на 1 |
|составов |состав |
| 6,17| 676,8|
| 4,31 – | 388,8|
|6,17 | |
| 3,08 – | 244,8|
|4,31 | |
| 1,85 – | 172,8|
|3,08 | |
| до | 100,8|
|1,85 | |
Предприятие 2.
|Количество |Прибыль на 1 |
|составов |состав |
| 6,18| |
| |459,25 |
| 4,33 – | |
|6,18 |305,25 |
| 3,09 – | |
|4,33 |151,25 |
| 1,85 – | |
|3,09 |74,25 |
| до | |
|1,85 |-78,75 |
Предприятие 3.
|Количество |Прибыль на 1 |
|составов |состав |
| 5,66| |
| |294,68 |
| 3,96 – | |
|5,66 |40,28 |
| 2,83 – | |
|3,96 |-214,12 |
| 1,7 – | |
|2,83 |-298,92 |
| до | |
|1,7 |-458,52 |
Количество составов,выделенных всем трем предприятиям (N), равно 14.
Рассчитаем эффективность использования средств предприятиями. Для этого
прибыль на один состав умножим на количество составов, при которых
достигается эта прибыль на каждом из предприятий.
[pic], где n – количество составов, Pn – прибыль при этом количестве
составов.
|Количест| Предприятие 1| Предприятие 2| Предприятие |
|во | | |3 |
|составов| | | |
| 1 | 100,8| | |
| | |-78,15 |-458,52 |
| 2 | 345,6| | |
| | |148,5 |-597,94 |
| 3 | 518,4| | |
| | |222,75 |-642,36 |
| 4 | 979,2| | |
| | |605 |161,12 |
| 5 | 1944 | | |
| | |1526,25 |201,40 |
| 6 | 2332,8| | |
| | |1831,5 |1768,08 |
Рассчитаем [pic] - максимально возможное количество составов для
предприятий 1 и 2. [pic]составов. Теперь рассчитаем минимально возможное
количество составов для предприятий 1 и 2, исходя из того, что максимально
возможное количество составов для предприятия 3 равно [pic] = 6 составов,
тогда [pic]составов. Составим таблицу выделения средств двум предприятиям
(1 и 2). Здесь x - общее количество ресурсов (составов) для двух
предприятий; x = x1 + x2; 0[pic] x1[pic] 6 – допустимое количество
составов для предприятия 1; 0 [pic] x2 [pic] 6 – допустимое количество
составов для предприятия 2. Отсюда видно, что 0 [pic]x[pic][pic] , однако
количество составов для предприятия 3 не может превышать 6, следовательно
x[pic][pic], следовательно [pic][pic]x[pic][pic]; 8[pic]x[pic]12. q1, q2 –
эффективность использования средств предприятиями 1 и 2 соответственно
взятая из предыдущей таблицы. W2 = q1 + q2 – суммарная эффективность обоих
предприятий.[pic]Наибольшую суммарную эффективность для каждого значения x
будем подчеркивать.
| | x1| X2| Эффективность|
|x | | | |
| | | | q1 | q2| W2 |
| 8 | 2| 6 | 345,6| 1831,5| 2177,1|
| | 3| 5 | 518,4| | |
| | | | |1526,25 |2044,65 |
| | 4| 4 | 979,2| 605| |
| | | | | |1584,2 |
| | 5| 3 | 1944 | | |
| | | | |222,75 |2166,75 |
| | 6| 2 | | | |
| | | |2332,8 |148,5 |2481,3 |
| 9 | 3| 6 | 518,4| 1831,5| |
| | | | | |2349,9 |
| | 4| 5 | 979,2| | |
| | | | |1526,25 |2505,45 |
| | 5| 4 | 1944 | 605| 2549|
| | 6| 3 | | | |
| | | |2332,8 |222,75 |2555,55 |
| 10 | 4| 6 | 979,2| 1831,5| |
| | | | | |2810,7 |
| | 5| 5 | 1944 | | |
| | | | |1526,25 |3470,25 |
| | 6| 4 | | 605| |
| | | |2332,8 | |2937,8 |
| 11 | 5| 6 | 1944 | 1831,5| |
| | | | | |3775,5 |
| | 6| 5 | | | |
| | | |2332,8 |1526,25 |3859,05 |
| 12 | 6| 6 | | | |
| | | |2332,8 |1831,5 |4164,3 |
Теперь составим таблицу выделения средств всем трем предприятиям. Так как
N – общее количество составов равно 14, а максимально возможное количество
составов для предприятий 1 и 2 [pic]=12, то всем трем предприятиям может
быть выделено 13 или 14 составов. W3 – суммарная эффективность всех трех
предприятий.
| | x3| x | Эффективность использования |
|Количество | | |ресурсов |
| | | | |
|Составов | | | |
| | | | q3| W2 | W3|
| 13 | 1| 12| | | |
| | | |-458,52 |4164,3 |3705,78 |
| | 2| | | | |
| | |11 |-597,94 |3859,05 |3261,11 |
| | 3| | | | |
| | |10 |-642,36 |3470,25 |2827,89 |
| | 4| | | | |
| | |9 |161,12 |2555,55 |2716,67 |
| | 5| | | | 2682,7|
| | |8 |201,4 |2481,3 | |
| 14 | 2| 12| | | |
| | | |-597,94 |4161,3 |3563,36 |
| | 3| 11| | | |
| | | |-642,36 |3859,05 |3216,69 |
| | 4| 10| | | |
| | | |161,12 |3470,25 |3631,12 |
| | 5| | | | |
| | |9 |201,4 |2555,55 |2756,95 |
| | 6| | | | |
| | |8 |1768,08 |2481,3 |4249,38 |
W3 максимальное равно 4249,38, следовательно Z = 4249,38.
x3 = 6; x2 = 2; x3 = 6.
Вывод:
В результате решения задачи динамического программирования я получил, что
максимальное значение целевой функции Z = [pic] = 4249,38 получается при
количестве составов, выделенных 3 предприятиям N = 14, и количестве
составов выделенных предприятию 3 x3 = 6. При этом количество составов для
предприятий 1 и 2 равно 8. Максимальная эффективности использования 8
составов предприятиями 1 и 2 достигается при выделении предприятию 1 - 6
составов, а предприятию 2 – 2 состава, и она равна 2481,3. Следовательно x1
= 6, x2 = 2, x3 = 6, Z = 4249,38.
Плановые задания предприятиям:
[pic], где P – плановое задание тыс. тонн, q – производительность состава,
x – количество составов, i – номер предприятия.
Для предприятия 1:
[pic]тыс. тонн;
[pic]тыс. тонн;
[pic]тыс. тонн.
Графическая интерпретация решений.
1. Решение задачи ЛП.
Из ограничения 1 задачи ЛП:
[pic]
Выразим
[pic]
Ограничения:
1) x1[pic]6,17 , значит 12 - x2 - x3 [pic] 6,17;
x2 + x3 [pic] 5,84
y1 = x2 + x3 = 5,84
x3 = 5,84 – x2;
2) x2 [pic] 6,18
y2 = x2 = 6,18;
3) x3 [pic] 5,66
y3 = x3 = 5,66;
4) 0,96 x1 + 0,12 x2 – 0,95 x3 [pic] 0
0,96 (12 – x2 – x3) + 0,12 x2 – 0,95 x3 [pic] 0
-0,84 x2 – 1,9 x3 [pic]11,52
0,84 x2 + 1,9 x3 [pic] 11,52
y4 = 0,84 x2 + 1,9 x3 = 11,52
[pic];
5) –0,84 x1 + 1,06 x3 [pic] 0
-0,84 (12 – x2 – x3) + 1,06 x3 [pic] 0
0,84 x2 + 0,84 x3 + 1,06 x3 [pic] 10,08
0,84 x2 + 1,9 x3 = 10,08
[pic];
Целевая функция:
Z = 676,8 (12 – x2 – x3) + 459,25 x2 + 294,66 x3 = 8121,6 – 217,55 x2 –
382,14 x3;
Рассмотрим, что происходит с графиком целевой функции при ее увеличении:
1) Z1 = 8000
8121,6 – 217,55 x2 – 382,14 x3 = 8000
-217,55 x2 – 382,14 x3 = 8000 – 8121,6
217,55 x2 + 382,14 x3 =121,6
[pic];
| | 0 | 3 |
|X2 | | |
| |0,32|-1,39|
|X3 | | |
2) Z2 = 9000
-217,55 x2 – 382,14 x3 = 9000 – 8121,6
217,55 x2 + 382,14 x3 = – 878,4
[pic]
| x2| 0| -3|
| x3| -2,3| -0,6|
Мы получили, что график функции Z2 расположен ниже чем график функции
Z1. Однако Z2 > Z1 (9000 > 8000). Следовательно своего максимального
значения целевая функция достигает в самой нижней точке области
относительно целевой функции (в той точке, через которую график целевой
функции будет проходить первым при уменьшении целевой функции). Обозначим
эту точку на графике A. Координаты точки A (0,95;4,89). x2 = 0,95; x3 =
4,89, что соответствует решению с помощью симплекс – метода.
2. Задача ЦЛП.
Максимального значения целевая функция задачи ЦЛП достигает при x2 = 1,
x3 = 5. На графике решение задачи ЦЛП – точка B с координатами (1;5).
3. Задача нелинейного программирования.
x2 = 0,17, x3 = 5,66. На графике точка C с координатами (0,17;5,66).
4. Задача ДП.
x2 = 2, x3 = 6. На графике точка D с координатами (2;6).
Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.
| | ЛП | ЦЛП |Нелинейное | ДП |
|Метод | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|Свойство | | | | |
|Использовани|Небольшое |Большое |Большое | |
|е |(1 проход) |(много |(много |НЕТ |
|Симплекс – | |проходов) |проходов) | |
|метода и ПК | | | | |
|Размер |Низкий |Низкий |Средний | Большой |
|расчетов без|(только |(только |(расчет |(все |
|ПК |расчет |расчет |дохода, |расчеты |
| |плановых |плановых |прибыли, |производятс|
| |заданий) |заданий) |затрат, |я вручную) |
| | | |плановых | |
| | | |заданий) | |
|Размер |Низкий |Средний |Высокий |Очень |
|подготовител|(только |(ограничени|(ограничени|большой |
|ьных и |ограничения|я ЛП + |я ЛП + | |
|промежуточны|) |ветвление) |составление| |
|х расчетов | | |таблицы + | |
| | | |промежуточ-| |
| | | |ные | |
| | | |подстановки| |
| | | |коэффициен-| |
| | | |тов) | |
|Общее время | Низкое| Среднее | Среднее| Высокое|
|решения | | | | |
|Чувствитель-| Есть | | | |
|ность к | |Есть |Есть |Нет |
|ограничениям| | | | |
|по | | | | |
|содержанию | | | | |
|полезного | | | | |
|компонента в| | | | |
|руде | | | | |
|Использовани| | | | |
|е |Нет |Нет |Есть |Есть |
|коэффициента| | | | |
|увеличения | | | | |
|затрат при | | | | |
|нагрузке | | | | |
|Размер |Максимальны| | Средний| |
|целевой |й |Средний | |Низкий |
|функции |6048,2412 |5993,3501 |5827,1611 |4249,38 |
|Общая | Низкая| Средняя |Средняя (не| |
|эффективност|(не |(не |учитывается|Средняя |
|ь и |учитывается|учитывается|целочислен-|(низкая |
|приближеннос| |коэффициент|ность |прибыль) |
|ть условий к|коэффициент|изменения |решения) | |
|реальным |изменения |затрат) | | |
| |затрат и | | | |
| |целочислен-| | | |
| | | | | |
| |ность | | | |
| |решения) | | | |
О проекте.
Проект выполнен студентом второго курса факультета РПМ Московского
государственного горного университета Солодовниковым Дмитрием.
Использованная литература:
. Резниченко С.С., Ашихмин А.А. Математические методы и моделирование в
горной промышленности. – М.: Издательство Московского горного
университета, 1997, 404 c.
-----------------------
1
2
4
5
3
[pic]
Страницы: 1, 2
